Đường đi viên đạn không thực sự tạo thành hình parabol

Được dạy trong mọi lớp học vật lý nhập môn qua nhiều thế kỷ, hình parabol chỉ là một sự xấp xỉ không hoàn hảo cho quỹ đạo thực sự của một vật thể chuyển động theo đường đi viên đạn.

Khi một năm học mới bắt đầu trên khắp thế giới, một nhóm học sinh trung học và sinh viên đại học mới sẽ lần đầu tiên học vật lý, bắt đầu với cơ học và chuyển động. Và, giống như hàng trăm năm qua kể từ thời Newton, học sinh sẽ tiếp tục học cùng một huyền thoại mà các thế hệ học sinh trước đó đã học: rằng bất kỳ vật nào được ném, bắn hoặc phóng trong trường trọng lực của Trái Đất sẽ vạch ra một hình parabol trước khi chạm đất. Nếu bỏ qua các lực bên ngoài như gió, lực cản của không khí hoặc ảnh hưởng từ các vật thể khác, hình dạng parabol này mô tả chính xác cách khối tâm của vật di chuyển, bất kể đó là gì hay điều kiện nào đang ảnh hưởng.

Tuy nhiên, theo các quy luật của trọng lực – dù bạn sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn của Newton hay thuyết tương đối tổng quát của Einstein – một hình parabol là không thể đối với một vật thể chịu tác động trọng lực của Trái Đất. Toán học đơn giản là không cho phép điều đó. Nếu chúng ta có thể thiết kế một thí nghiệm đủ chính xác, chúng ta sẽ đo được rằng các vật thể trên Trái Đất lệch một chút so với quỹ đạo parabol được dự đoán trong lớp học: ở mức vi mô nhưng vẫn đáng kể. Thay vào đó, các vật thể được ném trên Trái Đất sẽ vạch ra một quỹ đạo hình elip tương tự như quỹ đạo của Mặt Trăng xung quanh hành tinh của chúng ta. Sau đây là lý do bất ngờ tại sao.

Ảnh hưởng của hình dạng trái đất đến đường đi viên đạn

Nếu gia tốc trọng trường của Trái Đất luôn hướng thẳng xuống dưới, thì quỹ đạo của một vật thể trên Trái Đất sẽ luôn tạo thành hình parabol. Nhưng vì Trái Đất có hình cầu dẹt và gia tốc trọng trường được định hướng về phía trung tâm của hành tinh, điều này không thể hoàn toàn đúng.

Nếu bạn muốn mô hình hóa trường trọng lực tại bề mặt Trái Đất, có hai giả định đơn giản hóa mà bạn có thể đưa ra.

– Bạn có thể giả định rằng Trái Đất, ít nhất là ở khu vực gần bạn, là phẳng thay vì cong.

– Bạn có thể giả định rằng trường trọng lực của Trái Đất luôn hướng thẳng xuống so với vị trí của bạn, thay vì hướng đến cùng một điểm trong không gian ngay cả khi vị trí của bạn thay đổi.

Mỗi khi bạn ném hoặc phóng một vật thể, vật thể đó sẽ rơi vào một trạng thái gọi là rơi tự do, bất kể góc ném và vận tốc ban đầu của nó như thế nào.

Nếu tiếp tục bỏ qua tất cả các lực khác ngoài trọng lực – không có ma sát, không có lực cản/ kháng không khí, không có lực nâng hay hiệu ứng trượt – thì việc tính toán cách chuyển động của vật thể này thay đổi sẽ trở nên dễ dàng. Theo phương song song với bề mặt Trái Đất (ngang), vận tốc của bất kỳ vật thể nào sẽ giữ nguyên. Theo phương vuông góc với bề mặt Trái Đất (thẳng đứng), vật thể của bạn sẽ gia tốc xuống dưới với giá trị 9,8 m/s²: gia tốc do trọng lực tại bề mặt Trái Đất. Nếu đưa ra các giả định này, quỹ đạo bạn tính toán sẽ luôn là một hình parabol, đúng như những gì được dạy trong các lớp học vật lý trên toàn thế giới.

Pháo của Newton cho thấy các quỹ đạo với vận tốc dưới mức thoát ly (A–D) và vận tốc vượt mức thoát ly (E). Với quỹ đạo A và B, Trái Đất cản trở nên chúng ta không thể quan sát toàn bộ hình dạng quỹ đạo. Trường hợp C thể hiện một vòng tròn hoàn hảo; trường hợp D là một elip hơi lệch tâm, trong khi trường hợp E là quỹ đạo không bị ràng buộc vạch ra một phần của hyperbol. Tốc độ cần thiết để đạt C (quỹ đạo ổn định) là 7,9 km/s, trong khi tốc độ cần thiết để đạt E (thoát khỏi trọng lực Trái Đất) là 11,2 km/s.

Tuy nhiên, cả hai giả định trên đều không hoàn toàn đúng. Trái Đất có vẻ phẳng – phẳng đến mức không thể phân biệt được qua khoảng cách mà hầu hết các vật thể đường đi viên đạn di chuyển – nhưng thực tế, hành tinh này có hình cầu dẹt. Ngay cả trên khoảng cách chỉ vài mét, sự khác biệt giữa Trái Đất phẳng hoàn toàn và Trái Đất cong cũng xuất hiện ở mức 1 phần triệu: một mức độ rất nhỏ nhưng có thể nhận biết được với thiết bị đo lường đủ chính xác.

Điều đáng chú ý là giả định đầu tiên không ảnh hưởng nhiều đến quỹ đạo của một vật thể riêng lẻ, giống như các biến đổi địa hình cục bộ khiến việc đo độ cong của Trái Đất từ khu vực xung quanh bạn trở nên khó khăn nếu không muốn nói là không thể.

Giả định thứ hai, ngược lại, lại có ảnh hưởng rất lớn. Từ bất kỳ vị trí nào trên đường đi của nó, một vật thể không thực sự gia tốc thẳng xuống theo phương thẳng đứng mà hướng về trung tâm Trái Đất.

Tác động của gia tốc hướng về trung tâm Trái Đất

Một vật thể di chuyển ngang một khoảng cách chỉ vài mét sẽ trải qua một sự khác biệt về góc giữa những gì được coi là thẳng xuống và hướng về trung tâm của Trái Đất. Sự khác biệt này cũng xuất hiện ở mức 1 phần triệu. Nếu chúng ta muốn đi vào chi tiết, điều này xảy ra là do Trái Đất không phẳng mà có hình cầu dẹt.

Nếu Trái Đất hoàn toàn phẳng và gia tốc tại mọi nơi đều hướng thẳng xuống, mọi vật thể đường đi viên đạn sẽ tạo thành một hình parabol. Nhưng đối với các vật thể thực sự (như hình minh họa, ở bên phải), gia tốc luôn hướng về trung tâm Trái Đất. Điều này có nghĩa là quỹ đạo của vật thể phải là một phần của hình elip, thay vì một hình parabol.

Đối với một hệ thống điển hình mà bạn có thể gặp trong tự nhiên, như:

– Một quả bóng đá bị đá,

– Một quả bóng bầu dục bị ném,

– Hoặc một cú đánh home run trong bóng chày.

Các sai lệch khỏi hình parabol sẽ xuất hiện ở mức độ rất nhỏ: chỉ từ vài chục đến khoảng một trăm micron, nhỏ hơn cả chiều dài của một con trùng roi (paramecium). Tuy nhiên, quỹ đạo thực sự lại hấp dẫn và mang tính giáo dục hơn rất nhiều, vì nó đã được Johannes Kepler tìm ra hơn nửa thế kỷ trước khi Newton xuất hiện.

Kepler đã chứng minh rằng mọi vật thể chịu tác động của một lực hấp dẫn đều vạch ra một quỹ đạo hình elip, với tâm của lực hấp dẫn (trong trường hợp này là Trái Đất) nằm tại một trong hai tiêu điểm của elip đó. Khi Newton phát triển định luật vạn vật hấp dẫn, ông đã chứng minh rằng quỹ đạo elip của Kepler không chỉ đúng trong các trường hợp thiên văn học mà còn đúng trong tất cả các tình huống, bao gồm cả các vật thể bị ném hoặc phóng trên Trái Đất.

Nếu chúng ta có thể đo lường quỹ đạo của một quả bóng đá, bóng bầu dục hay một viên đạn với độ chính xác cực kỳ cao, chúng ta sẽ thấy rằng chúng không tạo thành hình parabol hoàn hảo, mà thay vào đó là một phần rất nhỏ của quỹ đạo hình elip.

Những gì chúng ta học trong các lớp vật lý về quỹ đạo parabol chỉ là một sự xấp xỉ. Trong thực tế, mỗi lần bạn ném, phóng hoặc bắn một vật thể, nó sẽ đi theo một phần của quỹ đạo hình elip. Sự khác biệt này có thể rất nhỏ ở các khoảng cách thông thường, nhưng nó là một minh chứng rõ ràng về sức mạnh của vật lý: từ những nguyên lý đơn giản đến khả năng giải thích chính xác các hiện tượng phức tạp của thế giới.

Điều đó cho thấy, ngay cả những gì chúng ta cho là đúng trong nhiều thế kỷ cũng có thể là những hiểu biết không hoàn toàn chính xác. Và như vậy, khoa học tiếp tục là hành trình cải tiến không ngừng để hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh chúng ta.

Giống như Mặt Trăng, bất kỳ vật thể nào được đưa vào chuyển động dưới ảnh hưởng của một khối lượng điểm cũng sẽ tạo ra một quỹ đạo hình elip, với trung tâm của Trái Đất là một tiêu điểm của hình elip đó. Đây là luật thứ nhất về chuyển động hành tinh của Kepler, và nó là mô hình nhật tâm đầu tiên mô tả chính xác chuyển động của các hành tinh xung quanh Mặt Trời, cũng như chuyển động của các mặt trăng quanh hành tinh của chúng và nhiều hiện tượng khác.

Vấn đề duy nhất với một vật thể trên Trái Đất, so với Mặt Trăng, là Trái Đất không thể được coi là một khối điểm, vì bề mặt của Trái Đất sẽ cản trở quỹ đạo của vật thể. Do đó, con người chỉ có thể quan sát được một phần rất nhỏ của quỹ đạo elip này: phần nhô lên một chút khỏi bề mặt Trái Đất, đạt đến đỉnh cao nhất của quỹ đạo (được gọi là điểm apogee trong cơ học thiên thể), và sau đó rơi trở lại trung tâm Trái Đất cho đến khi va chạm với bề mặt một lần nữa.

Một vật thể chuyển động dưới ảnh hưởng duy nhất của trọng lực dường như có quỹ đạo dạng parabol, nhưng thực tế đây chỉ là một phần nhỏ của quỹ đạo hình elip, với trung tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Mỗi hình dạng giống parabol, như hình minh họa giữa các lần nảy của quả bóng rổ trong hình trên, có trung tâm Trái Đất là một tiêu điểm của quỹ đạo elip. Nếu Trái Đất được thu nhỏ thành một điểm tại trung tâm khối lượng của nó, quả bóng sẽ hoàn thành quỹ đạo elip trong khoảng 90 phút.

Khi bề mặt Trái Đất cản trở quỹ đạo của vật thể, vấn đề lại lặp lại một lần nữa. Nếu vật thể nảy lên, nó sẽ tạo ra một đoạn quỹ đạo elip mới, có thể được xấp xỉ rất tốt bằng một parabol. Một quả bóng nảy, dù là bóng rổ hình tròn hay bóng bầu dục kiểu Mỹ, cũng sẽ có khối tâm vẽ ra một chuỗi các quỹ đạo parabol (hoặc gần như parabol) giữa các lần nảy.

Trọng lực là nguyên nhân tạo ra hình dạng quỹ đạo khi vật thể hoạt động như một vật phóng, nhưng nó không phải là nguyên nhân khiến quỹ đạo thay đổi sau mỗi lần va chạm với mặt đất.

Tương tác giữa vật thể thường và Trái Đất

Nguyên nhân nằm ở một yếu tố khác mà chúng ta thường xem nhẹ: Trái Đất được tạo thành từ cùng loại vật chất thông thường giống như vật thể phóng. Vật chất thông thường, thường bao gồm proton, neutron và electron, không chỉ chịu tác động của trọng lực mà còn của các lực hạt nhân và lực điện từ.

Chính lực điện từ gây ra các tương tác điển hình giữa các vật thể được cấu thành từ nguyên tử, tạo điều kiện cho các va chạm đàn hồi và không đàn hồi, đồng thời ngăn cản vật thể phóng đi xuyên qua Trái Đất và hoàn thành quỹ đạo elip.

Nếu một hạt vật chất tối di chuyển với tốc độ tương đương tốc độ của một proton trong cơ thể bạn, nó sẽ tạo ra một quỹ đạo elip với trung tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Vì hạt này không tương tác với vật chất, nó sẽ xuyên qua Trái Đất rắn một cách dễ dàng như thể đó là không gian trống. Chỉ vì các vật thể phóng được tạo thành từ vật chất thông thường nên chúng mới va chạm với Trái Đất thay vì xuyên qua, do tương tác của lực điện từ.

Chúng ta có thể vượt qua vấn đề này bằng cách tưởng tượng một vật phóng không có bất kỳ tương tác nào ngoài trọng lực với vật chất thông thường. Vật thể này có thể là một neutrino năng lượng thấp, có tiết diện tương tác với vật chất gần như bằng không, hoặc một hạt vật chất tối, không có tương tác ngoài trọng lực.

Nếu vật thể này được phóng ra, nó sẽ chỉ chịu tác động của trọng lực và xuyên qua bề mặt cũng như bên trong Trái Đất chỉ dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫn.

Nếu bạn nghĩ rằng hạt này sẽ tạo ra một quỹ đạo elip khép kín và quay trở lại vị trí ban đầu sau khoảng 90 phút, bạn đã đưa ra một giả định sai. Khi tính toán quỹ đạo, chúng ta coi Trái Đất như một khối điểm với toàn bộ khối lượng tập trung tại trung tâm của nó.

Tuy nhiên, khi hạt đi qua bề mặt và bên trong Trái Đất, Trái Đất trở thành một thực thể cực kỳ phức tạp, và sự phân bố mật độ bên trong Trái Đất khiến quỹ đạo thực sự của hạt thay đổi đáng kể.

Bên trong Trái Đất, các phần khối lượng nằm ở ngoài vị trí của bạn sẽ có tác động hấp dẫn bị triệt tiêu, chỉ có phần khối lượng bên trong vị trí của bạn mới tạo lực hấp dẫn.

Điều này có nghĩa là khi bạn rơi qua Trái Đất, bạn sẽ cảm nhận được lực hấp dẫn ngày càng giảm đi, vì chỉ có phần khối lượng bên trong ảnh hưởng đến bạn.

Khi hạt đi qua các lớp bên trong Trái Đất, như ranh giới giữa lớp manti và lõi hay ranh giới giữa lõi ngoài và lõi trong, bạn sẽ nhận thấy có những kinks trong quỹ đạo do mật độ thay đổi không đồng đều giữa các lớp.

Tác động khi hạt rơi qua Trái Đất

Bạn sẽ không hoàn toàn tái xuất hiện ở phía đối diện của Trái Đất, nhưng thực sự sẽ rơi qua tâm Trái Đất một khoảng lớn, quay ngược lại ở lớp manti hoặc thậm chí lớp vỏ, tùy thuộc vào một số hiệu ứng tinh vi không dễ tính toán.

Không chỉ mật độ thay đổi ở các độ sâu khác nhau chưa được biết hoàn toàn, mà tốc độ quay của các lớp bên trong Trái Đất cũng tồn tại một số bất định. Nếu bạn xem xét ngay cả một khối lượng duy nhất đi qua Trái Đất, tùy thuộc vào con đường cụ thể mà nó đi, ma sát động, hay lực giữa các hạt riêng lẻ, sẽ bắt đầu đóng vai trò quan trọng.

Ma sát động là hiện tượng xảy ra khi một hạt lớn đi qua một số lượng lớn các hạt khác mà nó chỉ tương tác qua trọng lực. Hạt đang chuyển động sẽ bị chậm lại do tương tác trọng lực với các hạt trong môi trường mà nó đi qua. Vận tốc tương đối là yếu tố định lượng chính.

Khi một hạt đi qua các hạt khác có khối lượng lớn, nó sẽ hấp dẫn chúng về phía mình. Nếu hạt di chuyển nhanh qua các hạt khác, nó sẽ làm lệch hướng các quỹ đạo của chúng về nơi mà nó vừa đi qua. Điều này tạo ra hiệu ứng tổng thể là làm chậm chuyển động của hạt ban đầu.

Tùy thuộc vào hướng của vật thể so với sự quay của Trái Đất và chuyển động bên trong của nó, hiệu ứng này có thể ảnh hưởng đáng kể đến quỹ đạo của bất kỳ hạt nào đi qua Trái Đất.

Trong một quỹ đạo duy nhất, khoảng 85–90 phút, hiệu ứng này có thể đủ lớn để vật thể không quay lại đúng điểm xuất phát. Nếu kết hợp các yếu tố:

– Trọng lực của quỹ đạo elip do một khối điểm,

– Định lý Birkhoff đối với các khối lượng phân bố trong không gian,

– Mật độ, thành phần và (có thể) tốc độ quay của các lớp bên trong Trái Đất,

– Và hiệu ứng ma sát động.

Vật thể sẽ không tạo ra một elip khép kín, mà sẽ trở lại một điểm lệch so với điểm xuất phát lên đến khoảng 10 mét. Trong thời gian dài và khoảng cách lớn, ngay cả một hiệu ứng nhỏ (như một phần triệu) cũng có thể trở nên đáng kể, đặc biệt khi đường kính Trái Đất hơn 12.000 km!

Hình minh họa cho thấy chuyển đổi từ đường cong parabol (trái) thành tập hợp các elip và hyperbol giao nhau (phải).

Quỹ đạo dường như là parabol thực tế chỉ là một đoạn của elip. Nếu vật thể được tạo từ vật chất tối (hoặc neutrino) và được phép rơi qua Trái Đất, nó sẽ không tạo ra một elip chính xác. Thay vào đó, nó sẽ tạo ra một dạng elip kéo dài, có sự thay đổi nhỏ nhưng đáng kể sau mỗi vòng quay.

Trong hầu hết các ứng dụng thực tiễn, đặc biệt khi vật thể chỉ bay trong vài giây trên bề mặt Trái Đất, việc coi quỹ đạo của vật thể như parabol không gây ảnh hưởng đáng kể đến độ chính xác. Tuy nhiên, trong các trường hợp:

– Cần đạt độ chính xác đến mức micromet,

– Xử lý các cấu trúc lớn (như cầu treo) dài hơn 100 mét,

– Hoặc vật thể bay lâu hơn 10 giây (khi đó phải tính đến lực cản không khí).

Bạn không nên coi trường trọng lực của Trái Đất là hằng số. Mọi thứ đều bị tăng tốc bởi lực hấp dẫn của Trái Đất, nhưng không hoàn toàn hướng xuống theo nghĩa tuyệt đối. Thay vào đó, gia tốc hấp dẫn hướng về trung tâm Trái Đất, giúp làm sáng tỏ quỹ đạo thực sự của vật thể – một elip.

Nghiên cứu các hiệu ứng khác nhau, cả bên ngoài Trái Đất lẫn bên trong nó, có thể dạy chúng ta khi nào và trong những trường hợp nào cần cân nhắc chúng. Trong hầu hết các ứng dụng, lực cản không khí là mối quan tâm lớn hơn nhiều so với các hiệu ứng như lớp bên trong Trái Đất hay ma sát động.

Việc coi trường hấp dẫn của Trái Đất là hằng số là hoàn toàn hợp lý. Nhưng đối với một số loại bài toán, những khác biệt tinh tế này thực sự có ý nghĩa. Chúng ta có thể tự do đưa ra các giả định, nhưng khi độ chính xác vượt ngưỡng chấp nhận được, đó là lúc cần nhận ra đầy đủ các yếu tố thực sự ảnh hưởng đến vấn đề.

Nếu bạn coi một hạt được làm từ vật chất tối hoặc neutrino – vốn chỉ chịu tác động của lực hấp dẫn mà không chịu bất kỳ tương tác nào khác – thì nó sẽ đi qua Trái Đất và gần như theo một quỹ đạo elip lý tưởng.

Tuy nhiên, các yếu tố như mật độ biến đổi, sự quay của Trái Đất, và các tương tác hấp dẫn nhỏ lẻ giữa các hạt bên trong Trái Đất sẽ dần làm lệch quỹ đạo ban đầu.

Ở quy mô vĩ mô, những sai số này có thể không đáng kể khi xét các chuyển động trong không gian hoặc các tính toán ngắn hạn. Nhưng nếu quỹ đạo kéo dài trong thời gian dài hoặc trong môi trường phức tạp hơn, như bên trong Trái Đất, thì chúng sẽ có ảnh hưởng rõ rệt.

Tổng kết lại, mặc dù ta có thể đơn giản hóa các tính toán để đạt được những mô hình gần đúng, việc hiểu rõ những yếu tố phức tạp là rất quan trọng khi độ chính xác cao là điều kiện tiên quyết. Trong khoa học và kỹ thuật, điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc chọn đúng mô hình tính toán phù hợp với mục tiêu và bối cảnh cụ thể.