Kết cấu chiều thời gian khác chiều không gian như thế nào?

Kết cấu không – thời gian có bốn chiều, gồm ba chiều không gian và chỉ một chiều thời gian. Nhưng thật bất ngờ, thời gian khác biệt rõ rệt so với không gian!

Khi nói đến các chiều, hầu hết chúng ta đều hiểu một cách trực quan rằng không gian sở hữu các tính chất đó. Bạn có thể di chuyển tới hoặc lùi lại theo bất kỳ chiều nào trong ba chiều lên – xuống, trái – phải, hoặc tiến – lùi, trong đó chuyển động là có thể. Đó là lý do tại sao, nếu bạn yêu cầu mình vẽ một đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ, hầu hết chúng ta sẽ đưa ra câu trả lời giống như Archimedes cách đây hơn 2.000 năm: một đường thẳng. Nếu bạn lấy một tờ giấy phẳng và đặt hai điểm lên đó ở bất kỳ đâu, bạn có thể nối hai điểm này bằng bất kỳ đường thẳng, đường cong, hay hình học nào bạn tưởng tượng. Miễn là tờ giấy vẫn phẳng, không cong và không bị gập theo bất kỳ cách nào, thì đường thẳng nối hai điểm đó cuối cùng sẽ đại diện cho con đường ngắn nhất có thể.

Đoạn đường ngắn nhất và không gian phẳng

Câu trả lời trực quan này mô tả chính xác cách ba chiều không gian hoạt động trong vũ trụ của chúng ta: trong không gian phẳng, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ là một đường thẳng. Điều này đúng bất kể bạn xoay, định hướng, hay đặt hai điểm đó ở đâu. Tuy nhiên, vũ trụ của chúng ta không chỉ có ba chiều không gian quen thuộc, mà còn bao gồm bốn chiều không – thời gian. Dễ dàng nhìn nhận rằng ba chiều là không gian và một chiều là thời gian, và từ đó chúng ta có không – thời gian, và điều này đúng, nhưng không phải là toàn bộ câu chuyện. Sau cùng, khoảng cách ngắn nhất giữa hai sự kiện trong không – thời gian không phải là đường thẳng, và hơn nữa, thời gian là một loại chiều hoàn toàn khác so với không gian.

Đây là cách nó thực sự hoạt động.

Thông thường, chúng ta đo khoảng cách giữa hai điểm bằng đoạn đường di chuyển, chẳng hạn như dọc theo đường nối các điểm A và B. Nhưng khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là một đường thẳng nối trực tiếp từ A đến B, điều này không phải lúc nào cũng khả thi phụ thuộc vào các điều kiện vật lý của bạn. Điều này chỉ áp dụng cho khoảng cách trong không gian, không áp dụng cho sự tách biệt giữa cả không gian và thời gian.

Khi nào bạn nhận ra rằng khoảng cách ngắn nhất nối bất kỳ hai điểm nào trong không gian sẽ là một đường thẳng? Hầu hết chúng ta học điều này từ khi còn nhỏ: cắt qua bãi cỏ để gặp bạn bè hoặc gia đình, thay vì đi theo con đường (thường vuông góc) sẽ mất nhiều thời gian và bước đi hơn. Thực tế, nhận thức này, liên quan đến kiến thức con người, đến từ một khái niệm mà chúng ta có thể không nhận ra: định lý Pythagoras.

Bạn có thể nhớ định lý Pythagoras là một quy tắc liên quan đến tam giác vuông. Định lý này ghi nhận rằng nếu bạn bình phương hai cạnh ngắn của tam giác vuông (a và b) và cộng chúng lại, thì tổng sẽ bằng bình phương của cạnh dài (c).

Về mặt toán học, nếu gọi hai cạnh ngắn là a và b và cạnh dài là c, thì phương trình liên quan sẽ là a² + b² = c².

Hãy suy nghĩ về điều này, không chỉ từ góc độ toán học thuần túy, mà còn trong khía cạnh đo khoảng cách. Điều này có nghĩa là nếu bạn di chuyển qua một trong các chiều không gian một khoảng nhất định (chẳng hạn a) và sau đó di chuyển qua một chiều vuông góc khác một khoảng khác (b), thì khoảng cách giữa nơi bạn bắt đầu và nơi bạn kết thúc sẽ bằng c, được định nghĩa bởi định lý Pythagoras.

Nói cách khác, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên một mặt phẳng, nơi hai điểm này cách nhau a theo một chiều và b theo chiều vuông góc khác, sẽ được mô tả bởi c, với c = √(a² + b²).

Không gian phẳng và không gian ba chiều

Điều này hoàn toàn hợp lý trong không gian phẳng, dạng lưới, nơi tất cả mọi người tại mọi vị trí, vào mọi thời điểm, và bất kể chuyển động nào, đều đồng ý trên cùng một hệ tọa độ. Tuy nhiên, trong vũ trụ của chúng ta, nhiều điều không phải lúc nào cũng đúng như vậy.

Ví dụ, chúng ta không bị giới hạn trong không gian phẳng như một tờ giấy. (Chúng ta sống trên Trái Đất dạng hình cầu, chẳng hạn.) Không gian của chúng ta không chỉ có chiều dài và chiều rộng (hay các hướng x và y, nếu bạn thích), mà còn có chiều sâu (hay hướng z).

Khi tính đến cả ba chiều không gian này – miễn là chúng ta vẫn giả định rằng không gian phẳng và đồng nhất – làm thế nào chúng ta xác định được khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian?

Có lẽ điều đáng ngạc nhiên là, chúng ta sẽ sử dụng chính phương pháp đã dùng trong không gian hai chiều, chỉ thêm một chiều nữa.

Nếu bạn có thể đo hoặc biết khoảng cách hai điểm cách nhau trong ba chiều độc lập, vuông góc với nhau:

– Hướng x,

– Hướng y,

– Và hướng z.

Bạn có thể tính tổng khoảng cách giữa chúng bằng cách sử dụng cùng phương pháp đã dùng trước đó.

Sự khác biệt duy nhất là, bởi vì có thêm một chiều, khoảng cách giữa chúng – gọi là d – sẽ được xác định bởi:

d = √(x² + y² + z²).

Điều này có thể trông giống như một phương trình đáng sợ, nhưng nó chỉ đơn giản nói rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ được định nghĩa bởi đường thẳng nối chúng: đường thẳng tính đến sự tách biệt giữa hai điểm trong cả ba chiều x, y, và z.

Chỉ cần bạn có thể vẽ một lưới không gian ba chiều, nơi các đường lưới giao nhau vuông góc với nhau, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong lưới đó (hoặc trong không gian ba chiều này) sẽ được xác định bởi mối quan hệ đó: d = √(x² + y² + z²). Khoảng cách giữa hai điểm được định nghĩa bằng một đường thẳng có một số ý nghĩa sâu sắc đối với hệ tọa độ (hoặc lưới) mà bạn đã đặt ra.

Trước hết, điều này tuyệt đối không quan trọng khi bạn định hướng cách vẽ hệ tọa độ x, y, và z. Bạn hoàn toàn có thể:

– Thay đổi tọa độ của bạn bằng cách quay hoặc thay đổi các trục,

– Quay hai điểm này một lượng nào đó xung quanh bất kỳ trục nào,

– Hoặc định hướng các chiều x, y, và z theo bất kỳ hướng nào (vuông góc với nhau).

Dù bạn làm thế nào, khoảng cách giữa hai điểm đó, cũng như khoảng cách được cho bởi công thức d = √(x² + y² + z²), sẽ không thay đổi chút nào.

Sự thay đổi khi có thời gian trong không gian

Vậy, làm thế nào điều này thay đổi khi chúng ta tính đến thời gian, điều mà không gian thông thường không có? Câu trả lời là: điều này thay đổi rất nhiều, vì thời gian không phải là một chiều không gian giống như ba chiều kia. Thời gian có những đặc điểm hoàn toàn khác so với không gian. Chúng ta không thể di chuyển trong thời gian theo cách mà chúng ta di chuyển trong không gian.

Khi xem xét không gian và thời gian cùng nhau trong một hệ tọa độ bốn chiều (không gian ba chiều cộng với thời gian), không gian không còn là một cái gì đó mà chúng ta có thể đo theo cách thông thường nữa. Thay vào đó, chúng ta phải sử dụng một công thức kết hợp không gian và thời gian lại với nhau, để có thể xác định được khoảng cách giữa hai sự kiện trong không gian thời gian.

Đối với một cặp sự kiện trong không gian thời gian, khoảng cách giữa chúng không phải là một đường thẳng đơn giản nữa. Thay vào đó, khoảng cách này được tính bằng một công thức đặc biệt trong thuyết tương đối, gọi là khoảng cách không gian – thời gian.

Khoảng cách giữa hai sự kiện trong không gian thời gian được định nghĩa bằng công thức sau:

s² = x² + y² + z² – c²t²,

Trong đó:

– x, y, z là các tọa độ không gian của sự kiện,

– t là thời gian giữa hai sự kiện,

– c là tốc độ ánh sáng trong chân không.

Sự khác biệt giữa không gian thông thường và không gian thời gian là dấu trừ trong công thức. Điều này có nghĩa là thời gian và không gian không cộng lại giống như các chiều không gian khác. Thời gian có một bản chất khác biệt và đặc biệt trong cách nó kết hợp với không gian.

Khi chúng ta tính đến thời gian như một chiều trong không gian thời gian, chúng ta thấy rằng việc xác định khoảng cách giữa hai sự kiện phụ thuộc vào mối quan hệ giữa không gian và thời gian. Thời gian không chỉ là một yếu tố độc lập mà là một phần không thể thiếu của không gian, tạo ra một không gian thời gian đồng nhất trong vũ trụ.

Từ đây, chúng ta có thể hiểu rằng không có một khoảng cách đơn giản như trong không gian thông thường, vì sự tách biệt giữa các sự kiện trong không gian và thời gian không phải lúc nào cũng giống nhau.

Khoảng cách trong không gian là một đại lượng bất biến

Các thành phần riêng lẻ tạo nên khoảng cách tổng thể (ví dụ: các giá trị x, y và z, riêng biệt) sẽ thay đổi nếu bạn xoay góc nhìn của mình hoặc xoay đường thẳng tưởng tượng kết nối hai điểm, vì định nghĩa về chiều dài, chiều rộng và chiều sâu của bạn sẽ thay đổi tương đối với nhau. Tuy nhiên, khoảng cách tổng thể giữa hai điểm đó sẽ không thay đổi chút nào; đại lượng cụ thể đó – khoảng cách giữa hai điểm – vẫn giữ nguyên bất biến, hoặc không thay đổi, bất kể bạn thay đổi hệ tọa độ như thế nào.

Khoảng cách này, như minh họa ở đây, là một khoảng cách nhất định giữa hai vật thể tạo thành hệ hành tinh đôi trong hình ảnh ở tiền cảnh. Khoảng cách tổng thể phân tách chúng trong ba chiều không gian, bất kể bạn định hướng hệ tọa độ như thế nào hoặc xoay các hành tinh này trong không gian ra sao, vẫn sẽ giữ nguyên và bất biến.

Suy nghĩ về khoảng cách như chúng ta vừa làm cung cấp một mô tả tuyệt vời về những gì chúng ta sẽ có nếu chúng ta xem xét không gian phẳng, không cong. Điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta thêm thời gian, như một chiều, vào phương trình? Bạn có thể nghĩ, Nếu thời gian cũng chỉ là một chiều, thì khoảng cách giữa bất kỳ hai điểm nào trong không – thời gian cũng sẽ hoạt động theo cách tương tự.

Ví dụ, nếu chúng ta biểu diễn chiều thời gian là t, bạn có thể nghĩ rằng khoảng cách giữa bất kỳ hai điểm nào sẽ là đường thẳng kết nối chúng theo cùng một cách: thông qua ba chiều không gian cũng như chiều thời gian. Về mặt toán học, bạn có thể nghĩ rằng phương trình cho sự phân tách giữa hai điểm bất kỳ sẽ trông giống như d = √(x² + y² + z² + t²).

Rốt cuộc, điều này gần như giống hệt thay đổi mà chúng ta đã thực hiện khi chuyển từ hai chiều không gian sang ba chiều không gian, ngoại trừ lần này chúng ta chuyển từ ba chiều sang bốn chiều. Đây là một bước đi hợp lý để thử nghiệm và mô tả chính xác thực tế sẽ trông như thế nào nếu chúng ta có bốn chiều không gian, thay vì ba chiều không gian và một chiều thời gian.

Nhưng thực tế điều này tạo ra một sự khác biệt rất lớn. Thay vì bốn chiều không gian, thực tế rằng chúng ta có ba chiều không gian và một chiều thời gian buộc chúng ta phải nhìn nhận vấn đề theo một cách khác. Bất chấp trực giác của bạn có thể đã mách bảo, thời gian không chỉ là một chiều khác như cách mà các chiều không gian là những chiều quen thuộc.

Việc để máy quay của bạn dự đoán chuyển động của các vật thể theo thời gian chỉ là một ứng dụng thực tế của ý tưởng thời gian như một chiều. Đối với bất kỳ tập hợp điều kiện nào được ghi lại qua thời gian, có thể dự đoán khi nào một tập hợp điều kiện không gian nhất định (bao gồm vị trí và vận tốc) sẽ xuất hiện, với nhiều giải pháp khả thi cho cả quá khứ và tương lai.

Có hai cách cơ bản mà thời gian, như một chiều, khác biệt so với các chiều không gian thông thường. Cách đầu tiên là một sự khác biệt nhỏ nhưng rõ ràng: bạn không thể đặt không gian (một phép đo khoảng cách, với các đơn vị như feet hoặc mét) và thời gian (một phép đo thời gian, với các đơn vị như giây hoặc năm) trên cùng một cơ sở ngay từ đầu. Bạn cần phải có một cách để chuyển đổi một trong hai thành cùng cơ sở với cái còn lại, nếu không bạn sẽ cố gắng liên kết hai loại đại lượng hoàn toàn khác nhau. (Bạn chắc chắn sẽ bực bội nếu hỏi khoảng cách từ New York đến Los Angeles và tôi trả lời rằng đó là 13 mili giây.)

May mắn thay, một trong những khám phá vĩ đại của thuyết tương đối Einstein là có một mối liên hệ cơ bản, quan trọng giữa khoảng cách và thời gian: tốc độ ánh sáng. Bất kỳ hạt hoặc hiện tượng nào di chuyển qua vũ trụ mà không có khối lượng nghỉ đều di chuyển với tốc độ này, bao gồm photon, gluon và sóng hấp dẫn.

Tốc độ ánh sáng trong chân không – 299,792,458 mét mỗi giây – cho chúng ta biết chính xác cách để liên hệ chuyển động qua không gian với chuyển động qua thời gian: bằng chính hằng số cơ bản đó. Khi chúng ta sử dụng các thuật ngữ như một năm ánh sáng hoặc một giây ánh sáng, chúng ta đang nói về khoảng cách dưới dạng thời gian: ví dụ, khoảng cách mà ánh sáng di chuyển trong một năm (hoặc một giây). (13 mili giây là thời gian một photon sẽ mất để đi qua khoảng cách từ New York đến Los Angeles.) Nếu chúng ta muốn chuyển đổi thời gian thành một khoảng cách, cách để thực hiện điều đó là nhân khoảng thời gian của bạn với tốc độ ánh sáng trong chân không.

Một cách khác mà thời gian khác biệt so với không gian

Bạn càng di chuyển qua không gian, bạn càng ít di chuyển qua thời gian, và ngược lại. Chỉ những điều chứa trong hình nón ánh sáng quá khứ của bạn mới có thể ảnh hưởng đến bạn ngày hôm nay; chỉ những điều chứa trong hình nón ánh sáng tương lai của bạn mới có thể được bạn nhận thức trong tương lai. Điều này minh họa không gian phẳng Minkowski, thay vì không gian cong của thuyết tương đối tổng quát.

Tuy nhiên, cũng có một cách khác mà thời gian khác biệt cơ bản so với không gian, như một chiều, và sự khác biệt thứ hai này đòi hỏi một bước nhảy lớn để hiểu. Trên thực tế, đây là một sự khác biệt đã làm khó nhiều bộ óc vĩ đại nhất vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Ý tưởng then chốt là tất cả các quan sát viên, vật thể, lượng tử và các thực thể khác tồn tại trong vũ trụ của chúng ta thực sự đều di chuyển qua kết cấu của vũ trụ – qua cả không gian và thời gian – cùng một lúc.

Ngay cả khi bạn nghĩ rằng mình đang ở trạng thái nghỉ, bằng cách ngồi tại chỗ, bất động và không di chuyển qua không gian chút nào, hóa ra bạn vẫn đang di chuyển qua thời gian khi bạn không chuyển động qua không gian. Hơn nữa, có một tốc độ rất cụ thể mà sự trôi qua của thời gian mà tất cả chúng ta đều quen thuộc: thời gian trôi qua với tốc độ một giây mỗi giây.

Tuy nhiên – và đây là điểm mấu chốt – chuyển động qua không gian không chỉ là điều có thể mà còn diễn ra liên tục. Hóa ra, bạn càng di chuyển nhanh (và càng di chuyển nhiều) qua không gian, thì bạn càng di chuyển chậm (và càng ít) qua thời gian. Không có chiều nào khác có đặc tính này; các chiều không gian không hề giống như vậy. Chuyển động của bạn qua chiều x trong không gian, ví dụ, hoàn toàn độc lập với chuyển động của bạn qua hai chiều không gian khác (y và z).

Tuy nhiên, tổng chuyển động tích lũy của bạn qua không gian, được đo tương đối với bất kỳ người quan sát nào khác, là yếu tố quyết định chuyển động của bạn qua thời gian. Bạn càng di chuyển qua một trong hai đại lượng này (không gian hoặc thời gian), thì bạn càng di chuyển ít hơn qua đại lượng kia – một đại lượng bổ sung.

Hiện tượng giãn nở thời gian (bên trái) và co ngắn chiều dài (bên phải) cho thấy thời gian dường như chạy chậm hơn và khoảng cách dường như ngắn lại khi bạn di chuyển gần với tốc độ ánh sáng. Khi bạn tiến gần tới tốc độ ánh sáng, đồng hồ sẽ giãn nở tới mức thời gian gần như không trôi qua, trong khi khoảng cách co lại tới mức cực nhỏ.

Đây là lý do cơ bản tại sao, khi bạn di chuyển với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng, bạn bắt đầu trải nghiệm các hiện tượng như giãn nở thời gian và co ngắn chiều dài – những khía cạnh của thực tế vốn là trọng tâm của thuyết tương đối Einstein. Nếu bạn chỉ di chuyển với tốc độ rất thấp so với tốc độ ánh sáng, thì rất khó để nhận thấy những hiệu ứng này; thời gian dường như trôi qua với tốc độ một giây mỗi giây đối với mọi người, và các chiều dài dường như giữ nguyên khoảng cách đối với tất cả mọi người ở các tốc độ có thể đạt được trên Trái Đất.

Nhưng khi bạn tiến gần tới tốc độ ánh sáng – hoặc đúng hơn, khi bạn quan sát một vật thể mà tốc độ tương đối giữa bạn và nó là một phần đáng kể của tốc độ ánh sáng – bạn sẽ nhận thấy rằng vật thể mà bạn thấy là đang chuyển động tương đối với bạn:

– Dường như chiều dài của nó bị co lại theo hướng chuyển động tương đối.

– Thời gian của nó, hoặc đồng hồ bên trong nó, dường như chạy với tốc độ chậm hơn (giãn nở).

Những điều này là tương đối với đồng hồ và thước đo khoảng cách của bạn. Lý do đằng sau các hiện tượng này, như Einstein lần đầu tiên nhận ra, rất đơn giản: đó là vì tốc độ ánh sáng là một đại lượng thực sự, mang tính bất biến phổ quát.

Nếu bạn hình dung rằng một chiếc đồng hồ được định nghĩa bằng ánh sáng bật qua lại giữa hai gương, thì việc quan sát đồng hồ của người khác khi họ di chuyển gần tốc độ ánh sáng sẽ dẫn đến việc đồng hồ của họ chạy chậm hơn so với đồng hồ của bạn, mặc dù cả hai bạn đều cảm nhận thời gian đang trôi qua với tốc độ một giây mỗi giây từ khung tham chiếu riêng của mỗi người.

Tính bất biến của tốc độ ánh sáng – rằng tốc độ ánh sáng trong chân không là giống nhau đối với mọi quan sát viên – chính là yếu tố trung tâm của tất cả những điều này. Nó giải thích tại sao, dù bạn đang ở trạng thái nghỉ hay đang di chuyển, thời gian và không gian sẽ thích nghi để duy trì sự thống nhất của không – thời gian, sao cho các định luật vật lý luôn áp dụng như nhau đối với mọi khung tham chiếu.

Khi bạn tiếp tục khám phá các nguyên lý của thuyết tương đối, bạn sẽ thấy rằng mọi chuyển động qua không gian và thời gian đều gắn bó chặt chẽ với nhau, và rằng cách chúng ta cảm nhận thực tại thay đổi dựa trên tốc độ tương đối của chúng ta so với tốc độ ánh sáng.

Hoạt động của đồng hồ ánh sáng

Một đồng hồ ánh sáng sẽ hoạt động khác nhau đối với các quan sát viên di chuyển với tốc độ tương đối khác nhau, nhưng điều này là do tính bất biến của tốc độ ánh sáng. Quy luật tương đối hẹp của Einstein chi phối cách các biến đổi về thời gian và khoảng cách diễn ra giữa các quan sát viên khác nhau. Tuy nhiên, mỗi quan sát viên riêng lẻ sẽ thấy thời gian trôi qua với cùng một tốc độ miễn là họ vẫn ở trong khung tham chiếu của mình: một giây mỗi giây, mặc dù khi họ đem đồng hồ lại gần nhau sau thí nghiệm, họ sẽ nhận ra rằng đồng hồ của mình không còn đồng bộ nữa.

Có một khám phá sâu sắc hơn có thể rút ra từ những ý tưởng này, điều mà ban đầu thậm chí Einstein cũng không nhận ra. Nếu bạn coi thời gian như một chiều không gian, nhân nó với tốc độ ánh sáng, và – đây là bước nhảy lớn – coi nó như một đại lượng toán học ảo thay vì thực, thì chúng ta thực sự có thể định nghĩa khoảng cách không – thời gian theo cách tương tự như cách chúng ta đã định nghĩa khoảng cách trước đó: d = √(x² + y² + z²).

Thay vì thêm + t² vào phương trình để định nghĩa một khoảng cách không – thời gian bốn chiều, trái ngược với khái niệm khoảng cách ba chiều, chúng ta có thể tích hợp hệ số chuyển đổi (tốc độ ánh sáng) và coi thời gian như cần có số ảo i làm hệ số trong phương trình.

Vì số ảo i chỉ là √(-1) và tốc độ ánh sáng là c, điều này có nghĩa rằng khoảng cách không – thời gian thực sự là d = √(x² + y² + z² – c²t²). [Lưu ý dấu trừ gắn với tọa độ thời gian, điều này xuất phát từ việc bình phương số ảo i!] Nói cách khác, sự chuyển đổi từ chuyển động qua hoặc phân cách trong không gian sang chuyển động qua hoặc phân cách trong cả không gian và thời gian cũng là một phép xoay, nhưng là xoay trong các tọa độ hyperbolic của không – thời gian, nơi nếu các tọa độ không gian được coi là đại lượng thực, thì tọa độ thời gian phải được coi là một đại lượng ảo.

Trong một bước ngoặt lớn, người đầu tiên ghép các mảnh ghép này lại với nhau chính là thầy cũ của Einstein, Hermann Minkowski. Năm 1907/8, ông nhận xét:

Từ nay về sau, không gian tự nó và thời gian tự nó sẽ chỉ còn là những bóng mờ, và chỉ có sự kết hợp giữa hai thứ này mới duy trì được một thực tại độc lập.

Với sự chặt chẽ toán học của Minkowski, khái niệm không – thời gian không chỉ được sinh ra mà còn trở thành nền tảng vững chắc.

Các tọa độ hyperbolic, được vẽ bằng màu đỏ và xanh, tuân theo các mối quan hệ toán học cơ bản khác biệt giữa hai tập trục so với các tọa độ Cartesian truyền thống dạng lưới. Điều này có ứng dụng vật lý cho mối quan hệ giữa các chiều không gian và thời gian trong thuyết tương đối, không giống như mối quan hệ quen thuộc giữa các chiều không gian khác nhau.

Điều đáng chú ý về tất cả những điều này là Einstein, dù thiếu sự hiểu biết toán học để nắm bắt chính xác mối quan hệ giữa chiều thời gian và ba chiều không gian truyền thống, vẫn có thể ghép nối được khám phá vật lý then chốt này. Tăng chuyển động của bạn qua không gian làm giảm chuyển động của bạn qua thời gian, và tăng chuyển động qua thời gian làm giảm chuyển động của bạn qua không gian.

Tất cả các phép đo không gian và thời gian chỉ có ý nghĩa tương đối với người quan sát, và phụ thuộc vào chuyển động tương đối giữa người quan sát và đối tượng được quan sát.

Và tuy nhiên, thông qua bất kỳ phép biến đổi nào bạn có thể hình dung, khoảng cách không – thời gian vẫn là một đại lượng bất biến. Dù ai là người quan sát hoặc họ di chuyển nhanh đến đâu, chuyển động tổng hợp của bất kỳ vật thể nào qua không – thời gian là điều mà tất cả các quan sát viên đều đồng ý.

Theo một số cách, thành công của thuyết tương đối trở nên ấn tượng hơn khi xét đến đánh giá khắc nghiệt của Minkowski về Einstein từ những ngày ông còn là sinh viên. Nói chuyện với học trò của mình (sau này), Max Born, Minkowski từng nói:

Đối với tôi, [thuyết tương đối] đến như một bất ngờ lớn, vì vào thời còn là sinh viên, Einstein là một kẻ lười biếng thực sự. Cậu ấy không bao giờ quan tâm đến toán học.

Dù khả năng toán học ra sao, những khám phá vật lý rằng:

– Tốc độ ánh sáng là một hằng số cho mọi quan sát viên,

– Và đại lượng bất biến thực sự duy nhất không phải là khoảng cách hay thời lượng, mà là khoảng cách không – thời gian,

đã trở thành nền tảng sâu sắc không chỉ dẫn đến thuyết tương đối hẹp và rộng của Einstein, mà còn dẫn đến sự hiểu biết hiện đại của chúng ta về thời gian không chỉ như một chiều, mà là một loại chiều độc đáo trong quan niệm bốn chiều về không – thời gian của chúng ta hiện nay.